Exercice 1

Une biologiste désire étudier l’évolution de la population de singes sur une île. En 2025, elle estime qu’il y a \(1 ~000\) singes sur l’île. 

A. Premier modèle

Chaque année, la population de singes baisse de \(10~\%\). 
1. Montrer qu’en 2026 il y aura \(900\) singes sur l’île. 
2. Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) le nombre de singes sur l’île pour l’année 2025 + \(n\). On a donc \(u_0=1~000\). 
    a. Indiquer ce que représente \(u_2\) et calculer sa valeur. 
    b. Déterminer la nature de la suite \((u_n)\) et préciser sa raison. 
    c. Donner les variations de cette suite.
3. Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d’extinction ? Justifier. 

B. Second modèle

On admet que l’évolution du nombre de singes est modélisée par la suite \((v_n)\) ainsi définie :

\(\begin{cases}v_{n+1} =0{,}9v_n+150~;n\in \mathbb N \\ ​v_0=1~000& \end{cases}\) où \(v_n\) désigne le nombre de singes sur l’île pour l’année 2025 + \(n\). 
1. Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul. 
2. La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs arrondies à l’unité des premiers termes de la suite \((v_n)\).  

Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite \((v_n)\) ?
3. Indiquer en quelle année la population de singes dépassera pour la première fois \(1~400\) individus.